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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

치환적분법

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 2권 · 3.1절 · 21번우리말 풀이

가장 간단한 방법으로 적분하세요. 모든 문제에 부분적분이 필요한 것은 아니에요.

∫xe−x2dx\int x{e}^{-{x}^{2}}dx

영어 원문 보기

Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.

∫xe−x2dx\int x{e}^{-{x}^{2}}dx

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

지수 −x2-x^2 의 도함수 −2x-2x 가 앞의 xx 와 상수배 차이이므로, 부분적분 말고 치환적분이 더 간단해요.

  1. 1

    왜 이렇게 할까요? xx 와 e−x2e^{-x^2} 의 곱이라 부분적분이 떠오르지만, e−x2e^{-x^2} 의 속함수 −x2-x^2 를 미분하면 −2x-2x 로 xx 와 닮았어요. 이럴 땐 치환적분이 훨씬 간단해요.

  2. 2

    치환해요. u=−x2u=-x^2 으로 놓으면 du=−2x dxdu=-2x\,dx, 즉 x dx=−12dux\,dx=-\frac12du 예요.

  3. 3

    적분해요. ∫xe−x2dx=−12∫eu du=−12eu+C\int xe^{-x^2}dx=-\frac12\int e^u\,du=-\frac12e^u+C

  4. 4

    xx 로 되돌려요. −e−x22+C-\frac{e^{-x^2}}{2}+C 미분하면 −12e−x2⋅(−2x)=xe−x2-\frac12e^{-x^2}\cdot(-2x)=xe^{-x^2} 으로 확인돼요.

답

−e−x22+C-\dfrac{e^{-x^2}}{2}+C

자주 하는 실수

모든 곱의 꼴에 부분적분을 쓰려다 계산이 더 복잡해져요. 속함수의 도함수가 보이면 치환을 먼저 생각해요.

원본 교재 풀이(영어)

−e−x22+C-\frac{{e}^{-{x}^{2}}}{2}+C

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.5절 · 44번

다음 문제에서 변수를 바꾸어 정적분의 값을 구하세요.

∫0π/4sin⁡θcos⁡4θdθ{\int }_{0}^{\pi /4}\frac{\sin \theta }{{\cos }^{4}\theta }d\theta

다 풀었으면 정답 확인

22−13\dfrac{2\sqrt{2}-1}{3}

자세한 풀이 보고 이어서 풀기
# 치환적분법계산기본

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