부분적분법 연습문제 — OpenStax 2권 · 3.1절 · 37번

OpenStax 2권 · 3.1절 · 37번우리말 풀이

다음 적분을 가장 간단한 방법으로 구하세요. 모든 문제에 부분적분이 필요한 것은 아니에요.

$\int x\cosh x\,dx$

영어 원문 보기

Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.

$\int x\cosh x\,dx$

풀이 보기

곱의 꼴에서 미분하면 간단해지는 쪽( $x$ )을 $u$ 로 잡고 부분적분을 떠올려요.

1
$x$ 와 $\cosh x$ 가 곱해져 있고 치환으로는 풀리지 않아요. 그래서 부분적분 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ 를 써요. $x$ 는 미분하면 $1$ 이 되어 간단해지니까 $u=x$ , $dv=\cosh x\,dx$ 로 잡아요.
2
공식에 넣을 $du$ 와 $v$ 를 구해요. $du=dx$ 이고, $\sinh x$ 를 미분하면 $\cosh x$ 이므로 $v=\sinh x$ 예요.
3
공식에 대입해요. $\int x\cosh x\,dx=x\sinh x-\int \sinh x\,dx$
4
남은 적분은 쉬워요. $\cosh x$ 를 미분하면 $\sinh x$ 이므로 $\int\sinh x\,dx=\cosh x$ 예요. 따라서 $\int x\cosh x\,dx=x\sinh x-\cosh x+C$
5
검산으로 미분해 봐요. $(x\sinh x-\cosh x)'=\sinh x+x\cosh x-\sinh x=x\cosh x$ 로 처음 식이 나와요.

답

$x\sinh x-\cosh x+C$

자주 하는 실수

$u=\cosh x$ , $dv=x\,dx$ 로 거꾸로 잡으면 $x^2$ 이 나와 적분이 더 어려워져요.

원본 교재 풀이(영어)

$-\cosh x+x\sinh x+C$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 3.1절 · 5번

부분적분법을 쓸 때는 어느 식을 $u$ 로 놓을지 신중히 골라야 해요. 다음 각 문제에서 이 절의 지침을 써서 $u$ 를 고르세요. 적분을 계산하지는 마세요.

$\int {e}^{3x}\sin (2x)dx$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$u=\sin(2x)$ (그러면 $dv=e^{3x}dx$ )