수열의 수렴과 발산 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.1절 · 19번

OpenStax 2권 · 5.1절 · 19번우리말 번역

각 수열의 처음 $N$ 개의 항을 그래프로 그리세요. 그래프로 볼 때 수열이 수렴하는지 발산하는지 말하세요.

[계산기 사용] ${a}_{1}=1,$ ${a}_{2}=2$ 이고 $n\ge 2$ 에 대해 ${a}_{n}=\frac{1}{2}({a}_{n-1}+{a}_{n-2});$ $N=30$

영어 원문 보기

Plot the first $N$ terms of each sequence. State whether the graphical evidence suggests that the sequence converges or diverges.

[T] ${a}_{1}=1,$ ${a}_{2}=2,$ and for $n\ge 2,$ ${a}_{n}=\frac{1}{2}({a}_{n-1}+{a}_{n-2});$ $N=30$

정답·풀이 보기

항들이 $5/3$ 의 위아래로 진동하며 $5/3$ 에 수렴하는 것으로 보인다.

진동하는 수열의 그래프이다. 항들이 5/3의 위아래로 진동하며 5/3에 수렴하는 것으로 보인다.

원본 교재 풀이(영어)

Terms oscillate above and below $5/3$ and appear to converge to $5/3.$

This is a graph of an oscillating sequence. Terms oscillate above and below 5/3 and seem to converge to 5/3.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.1절 · 49번우리말 번역

수열의 극한을 구하거나 수열이 발산함을 보이세요. 수렴하면 그 극한을 구하세요.

${a}_{n}={\left(1-\frac{2}{n}\right)}^{n}$

다 풀었으면 정답 확인

${(1+1/n)}^{n}\to e$ 이므로 $k\to \infty$ 일 때 ${(1-2/n)}^{n}\approx {(1+k)}^{-2k}\to {e}^{-2}$ 이다.