수열의 수렴과 발산 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.1절 · 49번

OpenStax 2권 · 5.1절 · 49번우리말 번역

수열의 극한을 구하거나 수열이 발산함을 보이세요. 수렴하면 그 극한을 구하세요.

${a}_{n}={\left(1-\frac{2}{n}\right)}^{n}$

영어 원문 보기

Determine the limit of the sequence or show that the sequence diverges. If it converges, find its limit.

${a}_{n}={\left(1-\frac{2}{n}\right)}^{n}$

정답·풀이 보기

${(1+1/n)}^{n}\to e$ 이므로 $k\to \infty$ 일 때 ${(1-2/n)}^{n}\approx {(1+k)}^{-2k}\to {e}^{-2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since ${(1+1/n)}^{n}\to e,$ one has ${(1-2/n)}^{n}\approx {(1+k)}^{-2k}\to {e}^{-2}$ as $k\to \infty .$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.1절 · 5번우리말 번역

다음 성질을 만족하는 수열 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 의 예를 하나 드세요.

다 풀었으면 정답 확인

가능한 답 중 하나는 $a_n=(-1)^{n} = \{-1, 1,-1,1,-1,1,-1,\ldots\}$ 이다. 또 다른 예는 $a_n=n(-1)^{n} = \{-1, 2,-3,4,-5,6,-7,\ldots\}$ 이다.