수열의 수렴과 발산 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.1절 · 31번

OpenStax 2권 · 5.1절 · 31번우리말 풀이

다음 각 수열( $n$ 번째 항이 주어져 있음)이 유계인지, 그리고 결국 단조(증가 또는 감소)인지 말하세요.

$\dfrac{n}{2^{n}},\quad n\ge2$

영어 원문 보기

For each of the following sequences, whose $n\text{th}$ terms are indicated, state whether the sequence is bounded and whether it is eventually monotone, increasing, or decreasing.

$n/{2}^{n},$ $n\ge 2$

풀이 보기

항이 모두 양수일 때는 이웃한 항의 비 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ 이 1보다 작은지 큰지로 증가·감소를 판단해요.

1
처음 몇 항을 써 봐요. $a_2=\dfrac12$ , $a_3=\dfrac38$ , $a_4=\dfrac14$ , $a_5=\dfrac5{32}$ 로 점점 줄어드는 것 같아요.
2
비로 감소를 확인해요. 모든 항이 양수이므로 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n}=\frac{n+1}{2n}=\frac12+\frac1{2n}$ $n\ge2$ 이면 이 값은 $\dfrac34$ 이하여서 1보다 작아요. 따라서 $a_{n+1}<a_n$ , 즉 $n\ge2$ 에서 감소수열이에요.
3
유계를 확인해요. 모든 항이 양수라서 아래로 $0$ 보다 크고, 감소하므로 첫 항 $a_2=\dfrac12$ 보다 커질 수 없어요. 즉 $0<a_n\le\dfrac12$ 이므로 유계예요.

답

유계이고, $n\ge2$ 에서 감소

자주 하는 실수

$n=1$ 일 때와 $n=2$ 일 때 값이 같아( $\tfrac12$ ) 처음부터 감소라고 하거나, 비가 1보다 작아지는 $n$ 의 범위를 확인하지 않는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

bounded, decreasing for $n\ge 2$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.1절 · 12번우리말 번역

수열 $b_n = \dfrac{\sqrt[4]{n}+1}{\sqrt{9n+3}}$ 의 극한을 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

이 수열은 유리식 꼴이 아니지만, 분자와 분모에서 $\sqrt{n}$ 을 묶어 내면 상황이 분명해진다.

$\begin{aligned} b_n &= \dfrac{\sqrt[4]{n}+1}{\sqrt{9n+3}}\left(\dfrac{\frac{1}{\sqrt n}}{\frac{1}{\sqrt n}}\right)= \dfrac{\frac{1}{\sqrt[4]{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}}{\sqrt{9+\frac{3}{n}}}\\ \lim_{n \to \infty}b_n &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{\frac{1}{\sqrt[4]{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}}{\sqrt{9+\frac{3}{n}}} = \dfrac{0+0}{\sqrt{9+0}}=0 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 수열의 수렴과 발산개념 확인보통