빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

수열의 수렴과 발산

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 2권 · 5.1절 · 53번우리말 번역

수열의 극한을 구하거나 그 수열이 발산함을 보이세요. 수렴하면 그 극한을 구하세요.

an=(n!)2(2n)!{a}_{n}=\frac{{(n!)}^{2}}{(2n)!}

영어 원문 보기

Determine the limit of the sequence or show that the sequence diverges. If it converges, find its limit.

an=(n!)2(2n)!{a}_{n}=\frac{{(n!)}^{2}}{(2n)!}

정답·풀이 보기

an+1an=n!/(n+1)(n+2)⋯ (2n)\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=n!/(n+1)(n+2)\cdots \,(2n) =1⋅2⋅3⋯n(n+1)(n+2)⋯ (2n)<1/2n=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots n}{(n+1)(n+2)\cdots \,(2n)}<1/{2}^{n}. 특히 an+1/an≤1/2{a}_{n+1}/{a}_{n}\le 1/2 이므로 n→∞n\to \infty 일 때 an→0{a}_{n}\to 0 이다.

원본 교재 풀이(영어)

an+1an=n!/(n+1)(n+2)⋯ (2n)\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=n!/(n+1)(n+2)\cdots \,(2n) =1⋅2⋅3⋯n(n+1)(n+2)⋯ (2n)<1/2n.=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots n}{(n+1)(n+2)\cdots \,(2n)}<1/{2}^{n}. In particular, an+1/an≤1/2,{a}_{n+1}/{a}_{n}\le 1/2, so an→0{a}_{n}\to 0 as n→∞.n\to \infty .

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.1절 · 25번우리말 번역

lim⁡n→∞an=1,\lim_{n\to \infty }{a}_{n}=1, lim⁡n→∞bn=−1\lim_{n\to \infty }{b}_{n}=-1 이고 모든 nn 에 대해 0<−bn<an0<-{b}_{n}<{a}_{n} 이라 하자. 다음 각 극한의 값을 구하거나, 극한이 존재하지 않는다고 말하거나, 극한이 존재하는지 판단하기에 정보가 충분하지 않다고 말하세요.

lim⁡n→∞an+bnan−bn\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{{a}_{n}-{b}_{n}}

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

00

이 문제로 이어서 풀기
# 수열의 수렴과 발산증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

「수열의 수렴과 발산」 문제 목록으로