수열의 수렴과 발산 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.1절 · 59번

OpenStax 2권 · 5.1절 · 59번우리말 번역

[계산기 사용] 어떤 호수에 처음에 물고기가 $2000$ 마리 있습니다. 포식자나 그 밖의 제거 요인이 없다면 물고기 개체 수는 매달 $6\%$ 씩 증가한다고 합시다. 그러나 모든 요인을 고려하면 매달 물고기 $150$ 마리가 사라집니다.

a. $n$ 개월 후의 물고기 개체 수가 ${P}_{0}=2000$ 일 때 ${P}_{n}=1.06{P}_{n-1}-150$ 으로 모형화되는 이유를 설명하세요. b. 1년 후 연못에 물고기가 몇 마리 있게 되는지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] A lake initially contains $2000$ fish. Suppose that in the absence of predators or other causes of removal, the fish population increases by $6\%$ each month. However, factoring in all causes, $150$ fish are lost each month.

a. Explain why the fish population after $n$ months is modeled by ${P}_{n}=1.06{P}_{n-1}-150$ with ${P}_{0}=2000.$ b. How many fish will be in the pond after one year?

정답·풀이 보기

a. 손실이 없다면 개체 수는 ${P}_{n}=1.06{P}_{n-1}$ 을 따를 것이다. $150$ 을 빼는 것은 물고기의 손실을 나타낸다. b. $12$ 개월 후에는 ${P}_{12}\approx 1494$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. Without losses, the population would obey ${P}_{n}=1.06{P}_{n-1}.$ The subtraction of $150$ accounts for fish losses. b. After $12$ months, we have ${P}_{12}\approx 1494.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.1절 · 51번우리말 번역

수열의 극한을 구하거나 수열이 발산함을 보이세요. 수렴하면 그 극한을 구하세요.

${a}_{n}=\frac{{2}^{n}+{3}^{n}}{{4}^{n}}$

다 풀었으면 정답 확인

${2}^{n}+{3}^{n}\le 2\cdot {3}^{n}$ 이고 $n\to \infty$ 일 때 ${3}^{n}/{4}^{n}\to 0$ 이므로 $n\to \infty$ 일 때 ${a}_{n}\to 0$ 이다.

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