급수의 수렴과 발산 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.2절 · 11번

OpenStax 2권 · 5.2절 · 11번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 부분합 ${S}_{n}$ 을 갖는 급수의 일반항 ${a}_{n}$ 을 구하세요. 부분합의 수열이 수렴하면 그 극한 $S$ 를 구하세요.

${S}_{n}=\sqrt{n},n\ge 2$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the general term ${a}_{n}$ of the series with the given partial sum ${S}_{n}.$ If the sequence of partial sums converges, find its limit $S.$

${S}_{n}=\sqrt{n},n\ge 2$

정답·풀이 보기

${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$ . 부분합이 유계가 아니므로 급수는 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}.$ Series diverges because partial sums are unbounded.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 13번우리말 번역

다음 각 급수에 대해 부분합의 수열을 이용하여 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{n+2}$

다 풀었으면 정답 확인

${S}_{1}=1/3,$ ${S}_{2}=1/3+2/4>1/3+1/3=2/3,$ ${S}_{3}=1/3+2/4+3/5>3\cdot (1/3)=1$ 이다. 일반적으로 ${S}_{k}>k/3$ 이다. 급수는 발산한다.

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# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류