급수의 수렴과 발산 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.2절 · 15번

OpenStax 2권 · 5.2절 · 15번우리말 번역

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ (힌트: $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}.)$ 에서와 같은 부분분수분해를 이용하세요.)

영어 원문 보기

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ (Hint: Use a partial fraction decomposition like that for $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}.)$

정답·풀이 보기

$\begin{array}{c}{S}_{1}=1/(2.3)=1/6=2/3-1/2, \\ {S}_{2}=1/(2.3)+1/(3.4)=2/12+1/12=1/4=3/4-1/2, \\ {S}_{3}=1/(2.3)+1/(3.4)+1/(4.5)=10/60+5/60+3/60=3/10=4/5-1/2, \\ {S}_{4}=1/(2.3)+1/(3.4)+1/(4.5)+1/(5.6)=10/60+5/60+3/60+2/60=1/3=5/6-1/2.\end{array}$

규칙은 ${S}_{k}=(k+1)/(k+2)-1/2$ 이고, 이 급수는 $1/2$ 로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

The pattern is ${S}_{k}=(k+1)/(k+2)-1/2$ and the series converges to $1/2.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 67번우리말 번역

[계산기 사용] $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 양의 항으로 이루어진 수렴하는 급수라고 하자. $\lim_{N\to \infty }\sum_{n=N+1}^{\infty }{a}_{n}=0$ 인 이유를 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

${S}_{k}=\sum_{n=1}^{k}{a}_{n}$ 이고 ${S}_{k}\to L$ 이라 하자. 그러면 ${S}_{k}$ 는 결국 $L$ 에 한없이 가까워지며, 이는 $L-{S}_{N}=\sum_{n=N+1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 $N\to \infty$ 일 때 한없이 작아진다는 뜻이다.

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# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류