급수의 수렴과 발산 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.2절 · 67번

OpenStax 2권 · 5.2절 · 67번우리말 번역

[계산기 사용] $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 양의 항으로 이루어진 수렴하는 급수라고 하자. $\lim_{N\to \infty }\sum_{n=N+1}^{\infty }{a}_{n}=0$ 인 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] Suppose that $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ is a convergent series of positive terms. Explain why $\lim_{N\to \infty }\sum_{n=N+1}^{\infty }{a}_{n}=0.$

정답·풀이 보기

${S}_{k}=\sum_{n=1}^{k}{a}_{n}$ 이고 ${S}_{k}\to L$ 이라 하자. 그러면 ${S}_{k}$ 는 결국 $L$ 에 한없이 가까워지며, 이는 $L-{S}_{N}=\sum_{n=N+1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 $N\to \infty$ 일 때 한없이 작아진다는 뜻이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let ${S}_{k}=\sum_{n=1}^{k}{a}_{n}$ and ${S}_{k}\to L.$ Then ${S}_{k}$ eventually becomes arbitrarily close to $L,$ which means that $L-{S}_{N}=\sum_{n=N+1}^{\infty }{a}_{n}$ becomes arbitrarily small as $N\to \infty .$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 17번우리말 번역

$\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}=1,$ $\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}=-1,$ ${a}_{1}=2,$ ${b}_{1}=-3$ 이라 하자. 다음 급수의 합을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }({a}_{n}+{b}_{n})$

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