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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

급수의 수렴과 발산

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 2권 · 5.2절 · 21번우리말 풀이

주어진 급수가 수렴하는지 말하고, 그 이유를 설명하세요.

∑n=1∞1n+1000\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1000} (힌트: 인덱스를 바꾸어 다시 쓰세요.)

영어 원문 보기

State whether the given series converges and explain why.

∑n=1∞1n+1000\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n+1000} (Hint: Rewrite using a change of index.)

풀이 보기

처음 몇 개의 항을 없애도 급수의 수렴·발산은 변하지 않아요. 그래서 알려진 조화급수와 같아져요.

  1. 1

    인덱스를 바꿔요. m=n+1000m=n+1000 으로 두면 n=1n=1 일 때 m=1001m=1001 이에요. ∑n=1∞1n+1000=∑m=1001∞1m\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n+1000}=\sum_{m=1001}^{\infty}\frac1m 조화급수 ∑m=1∞1m\sum_{m=1}^\infty\frac1m 에서 처음 10001000 개 항을 뺀 급수예요.

  2. 2

    조화급수는 발산해요. 항들을 12\dfrac12 이상씩 묶을 수 있어요. 예를 들어 13+14>14+14=12,15+⋯+18>48=12, …\frac13+\frac14>\frac14+\frac14=\frac12,\quad \frac15+\cdots+\frac18>\frac48=\frac12,\ \ldots 이렇게 묶을 때마다 12\frac12 보다 큰 값이 계속 더해져서 합이 한없이 커져요.

  3. 3

    결론을 내려요. 유한 개의 항을 더하거나 빼도 수렴·발산은 바뀌지 않으므로 이 급수도 발산해요. (각 항이 00 으로 가는데도 발산한다는 점에 주의하세요.)

답

발산한다 (∑n=1001∞1n\displaystyle\sum_{n=1001}^{\infty}\frac1n 과 같음)

자주 하는 실수

일반항이 00 으로 가니 수렴한다고 판단하는 실수가 많아요(그것은 수렴의 필요조건일 뿐이에요).

원본 교재 풀이(영어)

diverges, ∑n=1001∞1n\sum_{n=1001}^{\infty }\frac{1}{n}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번

다음 급수를 서로 소거되는 합(망원합) 꼴로 나타내고, 제 nn항까지의 부분합을 구하세요.

∑n=1∞ln⁡(nn+1)\sum_{n=1}^{\infty }\ln \left(\frac{n}{n+1}\right)

다 풀었으면 정답 확인

∑n=1∞(ln⁡n−ln⁡(n+1))\sum_{n=1}^{\infty}\big(\ln n-\ln(n+1)\big),   Sk=−ln⁡(k+1)\;S_k=-\ln(k+1)

자세한 풀이 보고 이어서 풀기
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