급수의 수렴과 발산 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번

OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번우리말 풀이

다음 급수를 서로 소거되는 합(망원합) 꼴로 나타내고, 제 $n$ 항까지의 부분합을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\ln \left(\frac{n}{n+1}\right)$

영어 원문 보기

Express the following series as a telescoping sum and evaluate its nth partial sum.

$\sum_{n=1}^{\infty }\ln \left(\frac{n}{n+1}\right)$

풀이 보기

로그의 나눗셈은 뺄셈으로 바꿀 수 있어서, 항을 늘어놓으면 가운데 항들이 줄줄이 사라져요.

1
먼저 로그의 성질 $\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$ 를 써서 일반항을 뺄셈 꼴로 바꿔요.

$\ln\left(\frac{n}{n+1}\right)=\ln n-\ln(n+1)$

그래서 급수는 $\sum_{n=1}^{\infty}\big(\ln n-\ln(n+1)\big)$ 로 쓸 수 있어요.
2
부분합 $S_k$ 는 처음 $k$ 개의 항을 더한 값이에요. 왜 이렇게 쓰냐면, 항을 직접 늘어놓아야 무엇이 소거되는지 보이기 때문이에요.

$S_k=(\ln 1-\ln 2)+(\ln 2-\ln 3)+(\ln 3-\ln 4)+\cdots+(\ln k-\ln(k+1))$
3
이웃한 항끼리 $-\ln 2$ 와 $+\ln 2$ , $-\ln 3$ 와 $+\ln 3$ 처럼 서로 지워져요. 남는 것은 맨 앞의 $\ln 1$ 과 맨 뒤의 $-\ln(k+1)$ 뿐이에요.
4
$\ln 1=0$ 이므로 부분합은 다음과 같아요.

$S_k=\ln 1-\ln(k+1)=-\ln(k+1)$

참고로 $k\to\infty$ 이면 $S_k\to-\infty$ 이므로 이 급수는 발산해요.

답

$\sum_{n=1}^{\infty}\big(\ln n-\ln(n+1)\big)$ , $\;S_k=-\ln(k+1)$

자주 하는 실수

$\ln 1$ 을 $1$ 로 착각하면 안 돼요. $\ln 1=0$ 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=1}^{\infty }\ln n-\ln (n+1),{S}_{k}=-\ln (k+1)$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 7번

다음과 같이 $n=1$ 부터 시작하는 급수의 $n$ 번째 항이 $a_n$ 일 때, 처음 네 개의 부분합 $S_1,\ldots,S_4$ 를 구하세요.

$a_n=\sin(n\pi/2)$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$S_1=1,\ S_2=1,\ S_3=0,\ S_4=0$