급수의 수렴과 발산 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.2절 · 27번

OpenStax 2권 · 5.2절 · 27번우리말 번역

다음과 같은 ${a}_{n}$ 에 대해, 합을 $\sum_{n=1}^{\infty }a{r}^{n}$ 꼴의 등비급수로 나타내세요. 이 급수가 수렴하는지 말하고, 수렴하면 $\sum {a}_{n}$ 의 값을 구하세요.

${a}_{1}=-1$ 이고 $n\ge 1$ 에 대해 ${a}_{n}/{a}_{n+1}=-5$ 이다.

영어 원문 보기

For ${a}_{n}$ as follows, write the sum as a geometric series of the form $\sum_{n=1}^{\infty }a{r}^{n}.$ State whether the series converges and if it does, find the value of $\sum {a}_{n}.$

${a}_{1}=-1$ and ${a}_{n}/{a}_{n+1}=-5$ for $n\ge 1.$

정답·풀이 보기

$\sum_{n=1}^{\infty }5\cdot {(-1/5)}^{n},$ $-5/6$ 으로 수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=1}^{\infty }5\cdot {(-1/5)}^{n},$ converges to $-5/6$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 59번우리말 번역

[계산기 사용] 공정한 동전이 앞면이 나오는 횟수의 기댓값은, $n=1,2,\ldots$ 에 대해 $n$ 에 동전이 연속으로 정확히 $n$ 번 앞면이 나올 확률, 즉 $n/{2}^{n+1}$ 을 곱한 값들의 합으로 정의됩니다. 공정한 동전이 연속으로 앞면이 나오는 횟수의 기댓값을 계산하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$E=\sum_{n=1}^{\infty }n/{2}^{n+1}=1$ 이며, 이는 부분합산법을 이용하여 보일 수 있다.

이 문제로 이어서 풀기

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류