급수의 수렴과 발산 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.2절 · 59번

OpenStax 2권 · 5.2절 · 59번우리말 번역

[계산기 사용] 공정한 동전이 앞면이 나오는 횟수의 기댓값은, $n=1,2,\ldots$ 에 대해 $n$ 에 동전이 연속으로 정확히 $n$ 번 앞면이 나올 확률, 즉 $n/{2}^{n+1}$ 을 곱한 값들의 합으로 정의됩니다. 공정한 동전이 연속으로 앞면이 나오는 횟수의 기댓값을 계산하세요.

영어 원문 보기

[T] The expected number of times that a fair coin will come up heads is defined as the sum over $n=1,2,\ldots$ of $n$ times the probability that the coin will come up heads exactly $n$ times in a row, or $n/{2}^{n+1}.$ Compute the expected number of consecutive times that a fair coin will come up heads.

정답·풀이 보기

$E=\sum_{n=1}^{\infty }n/{2}^{n+1}=1$ 이며, 이는 부분합산법을 이용하여 보일 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

$E=\sum_{n=1}^{\infty }n/{2}^{n+1}=1,$ as can be shown using summation by parts

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 45번우리말 번역

${a}_{n}={c}_{0}f(n)+{c}_{1}f(n+1)+{c}_{2}f(n+2)+{c}_{3}f(n+3)+{c}_{4}f(n+4)$ 이고 $f(n)\to 0$ ( $n\to \infty .$ ) 이라 하자. 이 급수가 일반적인 망원급수가 되도록 하는 계수 ${c}_{0},\ldots ,{c}_{4}$ 에 대한 조건을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

${c}_{0}+{c}_{1}+{c}_{2}+{c}_{3}+{c}_{4}=0$

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# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류