급수의 수렴과 발산 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.2절 · 3번

OpenStax 2권 · 5.2절 · 3번우리말 풀이

시그마 기호를 써서 다음 식을 무한급수로 나타내세요.

$1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\cdots$

영어 원문 보기

Using sigma notation, write the following expressions as infinite series.

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...$

풀이 보기

분모의 규칙과 부호의 규칙을 따로 찾아 곱해요.

1
분모를 봐요. $1,2,3,4,\ldots$ 이므로 $n$ 번째 항의 크기는 $\dfrac1n$ 이에요.
2
부호를 봐요. $+,-,+,-,\ldots$ 로 번갈아 바뀌어요. 첫 항이 $+$ 이므로 $n=1$ 에서 $+1$ 이 되도록 $(-1)^{n-1}$ 을 써요( $n=2$ 면 $-1$ ).
3
합쳐서 써요. $1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$

답

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$

자주 하는 실수

부호를 $(-1)^n$ 으로 써서 첫 항이 $-1$ 이 되는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 8.2절 · 47번우리말 번역

조화급수를 홀수번째 항과 짝수번째 항의 합으로 나누세요. $\sum_{n=1}^\infty \frac1n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}.$ 목표는 오른쪽의 두 급수가 각각 발산함을 보이는 것입니다.

(a) 왜 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}$ 인지 보이세요.

(각 $n^\text{th}$ 부분합을 비교하세요.) (b) 왜 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}<1+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}$ 인지 보이세요. (c) (a)와 (b)가 홀수번째 항의 급수가 수렴하는 것과 짝수번째 항의 급수도 수렴하는 것이 서로 필요충분조건임을 어떻게 보여 주는지 설명하세요. (즉, 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산함을 보이세요.) (d) 조화급수가 발산한다는 사실로부터 짝수번째 항의 급수와 홀수번째 항의 급수도 발산하게 되는 이유를 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 홀수번째 항의 급수의 $n^\text{th}$ 부분합은 $1+\frac13+\frac15+\cdots+\frac{1}{2n-1}$ 이다. 짝수번째 항의 급수의 $n^\text{th}$ 부분합은 $\frac12+\frac14 + \frac16 + \cdots +\frac1{2n}$ 이다. 짝수번째 항의 급수의 각 항은 홀수번째 항의 급수에서 대응하는 항보다 작으므로 결과를 얻는다. (b) 홀수번째 항의 급수의 $n^\text{th}$ 부분합은 $1+\frac13+\frac15+\cdots+\frac1{2n-1}$ 이다. 1에 짝수번째 항의 급수를 더한 급수의 $n^\text{th}$ 부분합은 $1+\frac12+\frac14+\cdots + \frac{1}{2(n-1)}$ 이다. 이제 짝수번째 항의 급수의 각 항은 홀수번째 항의 급수에서 대응하는 항보다 크거나 같고, 첫째 항에서만 같다. 따라서 결과를 얻는다. (c) 홀수번째 항의 급수가 수렴하면 (a)의 풀이에 의해 짝수번째 항의 급수도 수렴한다. (짝수번째 항의 급수의 $n^\text{th}$ 부분합으로 이루어진 수열은 유계이고 단조증가한다.) 마찬가지로 (b)에 의해 짝수번째 항의 급수가 수렴하면 홀수번째 항의 급수도 수렴한다. 따라서 어느 한 급수가 수렴하면 다른 급수도 수렴한다.

비슷하게 (a)와 (b)를 이용하면, 어느 한 급수가 발산하면 다른 급수도 발산함을 보일 수 있다. (d) 짝수번째 항의 급수와 홀수번째 항의 급수가 모두 수렴한다면 두 급수의 합은 수렴하는 급수가 된다. 이는 두 급수의 합인 조화급수가 수렴한다는 뜻이 된다. 그러나 조화급수는 수렴하지 않는다. 그러므로 각 급수는 발산한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 급수의 수렴과 발산계산기본