급수의 수렴과 발산 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.2절 · 31번

OpenStax 2권 · 5.2절 · 31번우리말 번역

항등식 $\frac{1}{1-y}=\sum_{n=0}^{\infty }{y}^{n}$ 을 이용하여 다음 함수를 지시된 항에 대한 등비급수로 나타내세요.

$x$ 에 대한 $\frac{x}{1+x}$

영어 원문 보기

Use the identity $\frac{1}{1-y}=\sum_{n=0}^{\infty }{y}^{n}$ to express the function as a geometric series in the indicated term.

$\frac{x}{1+x}$ in $x$

정답·풀이 보기

$x\sum_{n=0}^{\infty }{(-x)}^{n}=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}{x}^{n}$

원본 교재 풀이(영어)

$x\sum_{n=0}^{\infty }{(-x)}^{n}=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}{x}^{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 47번우리말 번역

일반적인 망원급수란 연속하는 일정한 개수의 항을 더했을 때, 처음 몇 개의 항을 제외한 나머지 항이 모두 소거되는 급수이다.

$\sum_{n=2}^{\infty }\frac{2}{{n}^{3}-n}$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\frac{2}{{n}^{3}-1}=\frac{1}{n-1}-\frac{2}{n}+\frac{1}{n+1},$ ${S}_{n}=(1-1+1/3)+(1/2-2/3+1/4)$ $+(1/3-2/4+1/5)+(1/4-2/5+1/6)+\cdots =1/2$