급수의 수렴과 발산 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.2절 · 47번

OpenStax 2권 · 5.2절 · 47번우리말 번역

일반적인 망원급수란 연속하는 일정한 개수의 항을 더했을 때, 처음 몇 개의 항을 제외한 나머지 항이 모두 소거되는 급수이다.

$\sum_{n=2}^{\infty }\frac{2}{{n}^{3}-n}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

A general telescoping series is one in which all but the first few terms cancel out after summing a given number of successive terms.

Evaluate $\sum_{n=2}^{\infty }\frac{2}{{n}^{3}-n}.$

정답·풀이 보기

$\frac{2}{{n}^{3}-1}=\frac{1}{n-1}-\frac{2}{n}+\frac{1}{n+1},$ ${S}_{n}=(1-1+1/3)+(1/2-2/3+1/4)$ $+(1/3-2/4+1/5)+(1/4-2/5+1/6)+\cdots =1/2$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{2}{{n}^{3}-1}=\frac{1}{n-1}-\frac{2}{n}+\frac{1}{n+1},$ ${S}_{n}=(1-1+1/3)+(1/2-2/3+1/4)$ $+(1/3-2/4+1/5)+(1/4-2/5+1/6)+\cdots =1/2$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 37번우리말 번역

다음 망원급수의 값을 구하거나 급수가 발산하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right)$

다 풀었으면 정답 확인

${S}_{k}=1-\sqrt{k+1}$ 이고 발산한다