급수의 수렴과 발산 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.2절 · 33번

OpenStax 2권 · 5.2절 · 33번우리말 번역

항등식 $\frac{1}{1-y}=\sum_{n=0}^{\infty }{y}^{n}$ 을 이용하여 함수를 주어진 항에 대한 등비급수로 나타내세요.

$\frac{1}{1+{\sin }^{2}x}$ 를 $\sin x$ 에 대한 등비급수로

영어 원문 보기

Use the identity $\frac{1}{1-y}=\sum_{n=0}^{\infty }{y}^{n}$ to express the function as a geometric series in the indicated term.

$\frac{1}{1+{\sin }^{2}x}$ in $\sin x$

정답·풀이 보기

$\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\sin }^{2n}(x)$

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\sin }^{2n}(x)$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 55번우리말 번역

[계산기 사용] 공정한 동전이란 던졌을 때 앞면이 나올 확률이 $1/2$ 인 동전입니다.

a. 공정한 동전을 던져 연속으로 $n$ 번 뒷면이 나올 확률은 얼마인지 구하세요. b. 짝수 번의 동전 던지기 중 마지막 던지기에서 처음으로 앞면이 나올 확률을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

a. 동전을 $n$ 번 던졌을 때 나오는 결과의 순서열 하나하나의 확률은 $1/{2}^{n}$ 이다. b. $n$ 번째 던지기에서 처음으로 앞면이 나올 확률은 순서열 $TT\ldots TH$ 의 확률이므로 $1/{2}^{n}$ 이다. 짝수 번째 던지기에서 처음으로 앞면이 나올 확률은 $\sum_{n=1}^{\infty }1/{2}^{2n}$ 즉 $1/3$ 이다.

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# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류