급수의 수렴과 발산 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.2절 · 7번

OpenStax 2권 · 5.2절 · 7번우리말 풀이

다음과 같이 $n=1$ 부터 시작하는 급수의 $n$ 번째 항이 $a_n$ 일 때, 처음 네 개의 부분합 $S_1,\ldots,S_4$ 를 구하세요.

$a_n=\sin(n\pi/2)$

영어 원문 보기

Compute the first four partial sums ${S}_{1},\ldots ,{S}_{4}$ for the series having $n\text{th}$ term ${a}_{n}$ starting with $n=1$ as follows.

${a}_{n}=\sin (n\pi /2)$

답 쓰고 채점

풀이 보기

부분합 $S_k$ 는 처음 $k$ 개의 항을 더한 값이에요.

1
각 항을 구해요. $\sin\frac{\pi}{2}=1$ , $\sin\pi=0$ , $\sin\frac{3\pi}{2}=-1$ , $\sin2\pi=0$ 이므로 $a_1=1,\ a_2=0,\ a_3=-1,\ a_4=0$ 이에요.
2
차례로 더해요. $S_1=1,\quad S_2=1+0=1,\quad S_3=1+0+(-1)=0,\quad S_4=0+0=0$

답

$S_1=1,\ S_2=1,\ S_3=0,\ S_4=0$

자주 하는 실수

부분합을 항 자체와 혼동해 $S_3=-1$ 처럼 쓰는 실수가 있어요(부분합은 누적한 합이에요).

원본 교재 풀이(영어)

$1,1,0,0$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 3번

시그마 기호를 써서 다음 식을 무한급수로 나타내세요.

$1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\cdots$

다 풀었으면 정답 확인

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$