급수의 수렴과 발산 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.2절 · 41번

OpenStax 2권 · 5.2절 · 41번우리말 번역

다음 급수를 망원합으로 나타내고 제 n 번째 부분합을 구하세요.

$\sum_{n=2}^{\infty }\frac{\ln \left(1{+}_{n}^{1}\right)}{\ln n\ln (n+1)}$

영어 원문 보기

Express the following series as a telescoping sum and evaluate its nth partial sum.

$\sum_{n=2}^{\infty }\frac{\ln \left(1{+}_{n}^{1}\right)}{\ln n\ln (n+1)}$

정답·풀이 보기

${a}_{n}=\frac{1}{\ln n}-\frac{1}{\ln (n+1)}$ 이고 ${S}_{k}=\frac{1}{\ln (2)}-\frac{1}{\ln (k+1)}\to \frac{1}{\ln (2)}$

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}=\frac{1}{\ln n}-\frac{1}{\ln (n+1)}$ and ${S}_{k}=\frac{1}{\ln (2)}-\frac{1}{\ln (k+1)}\to \frac{1}{\ln (2)}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 31번우리말 번역

항등식 $\frac{1}{1-y}=\sum_{n=0}^{\infty }{y}^{n}$ 을 이용하여 다음 함수를 지시된 항에 대한 등비급수로 나타내세요.

$x$ 에 대한 $\frac{x}{1+x}$

다 풀었으면 정답 확인

$x\sum_{n=0}^{\infty }{(-x)}^{n}=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}{x}^{n}$