급수의 수렴과 발산 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.2절 · 49번

OpenStax 2권 · 5.2절 · 49번우리말 번역

[계산기 사용] 수열 ${t}_{k}=\sum_{n=1}^{k-1}(1/n)-\ln k$ 을 정의합니다. $1/x$ 의 그래프를 이용하여 ${t}_{k}$ 가 증가함을 확인하세요. $k=1\ldots 100$ 에 대해 ${t}_{k}$ 를 그래프로 그리고, 이 수열이 수렴하는 것처럼 보이는지 말하세요.

영어 원문 보기

[T] Define a sequence ${t}_{k}=\sum_{n=1}^{k-1}(1/n)-\ln k.$ Use the graph of $1/x$ to verify that ${t}_{k}$ is increasing. Plot ${t}_{k}$ for $k=1\ldots 100$ and state whether it appears that the sequence converges.

정답·풀이 보기

${t}_{k}$ 는 $0.57721\ldots {t}_{k}$ 로 수렴한다. 이 수열은 구간 $[k,k+1]$ 에서 높이가 $1/k$ 인 직사각형들의 합이며, 이 직사각형들은 $1/x$ 의 그래프 위쪽에 놓인다.

제1사분면에 그려진 수열의 그래프이다. 수열은 0 가까이에서 시작하여 0.57721 에 수렴하는 것처럼 보인다.

원본 교재 풀이(영어)

${t}_{k}$ converges to $0.57721\ldots {t}_{k}$ is a sum of rectangles of height $1/k$ over the interval $[k,k+1]$ which lie above the graph of $1/x.$

This is a graph of a sequence in quadrant one that begins close to 0 and appears to converge to 0.57721.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 71번우리말 번역

[계산기 사용] 시에르핀스키 개스킷은 단위정사각형을 합동인 9개의 작은 정사각형으로 나누어 가운데 정사각형을 제거하고, 남은 작은 정사각형 각각에 대해 각 단계마다 같은 과정을 반복하여 얻는다. 그림은 4번 반복한 뒤 남은 집합을 나타낸다. $N$ 단계 후 제거된 전체 넓이를 구하고, $N$ 단계 후 남은 집합의 전체 둘레의 길이를 구하세요.

검은 정사각형에서 여러 개의 더 작은 정사각형이 제거되어, 정사각형 무늬의 빈 공간이 남아 있는 그림이다. 제거 과정은 4번 반복되었다. 첫 번째 단계에서는 가운데 있는 넓이 1/9 인 정사각형이 제거된다. 이 정사각형의 한 변의 길이는 바로 앞 단계의 더 큰 정사각형의 한 변의 길이의 1/3 이다. 다음 단계에서는 이 정사각형 둘레에서 더 작은 정사각형 8개가 제거된다. 그다음에는 그 8개의 정사각형 각각의 둘레에서 더 작은 정사각형 8개씩, 모두 64개가 제거된다. 그다음에는 그 64개 각각의 둘레에서 훨씬 더 작은 정사각형 8개씩이 제거된다.

다 풀었으면 정답 확인

1단계에서는 넓이가 $1/9$ 인 정사각형이 제거되고, 2단계에서는 넓이가 $1/{9}^{2}$ 인 정사각형 $8$ 개가 제거되며, 3단계에서는 넓이가 $1/{9}^{3}$ 인 정사각형 ${8}^{2}$ 개가 제거되고, 이와 같이 계속된다. $N$ 단계 후 제거된 전체 넓이는 $\sum_{n=0}^{N-1}{8}^{N}/{9}^{N+1}=\frac{1}{8}(1-{(8/9)}^{N})/(1-8/9)\to 1$

이다( $N\to \infty$ 일 때). 전체 둘레는 $4+4\sum_{n=0}{8}^{N}/{3}^{N+1}\to \infty$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 급수의 수렴과 발산증명·논술자동 분류