급수의 수렴과 발산 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.2절 · 71번

OpenStax 2권 · 5.2절 · 71번우리말 번역

[계산기 사용] 시에르핀스키 개스킷은 단위정사각형을 합동인 9개의 작은 정사각형으로 나누어 가운데 정사각형을 제거하고, 남은 작은 정사각형 각각에 대해 각 단계마다 같은 과정을 반복하여 얻는다. 그림은 4번 반복한 뒤 남은 집합을 나타낸다. $N$ 단계 후 제거된 전체 넓이를 구하고, $N$ 단계 후 남은 집합의 전체 둘레의 길이를 구하세요.

검은 정사각형에서 여러 개의 더 작은 정사각형이 제거되어, 정사각형 무늬의 빈 공간이 남아 있는 그림이다. 제거 과정은 4번 반복되었다. 첫 번째 단계에서는 가운데 있는 넓이 1/9 인 정사각형이 제거된다. 이 정사각형의 한 변의 길이는 바로 앞 단계의 더 큰 정사각형의 한 변의 길이의 1/3 이다. 다음 단계에서는 이 정사각형 둘레에서 더 작은 정사각형 8개가 제거된다. 그다음에는 그 8개의 정사각형 각각의 둘레에서 더 작은 정사각형 8개씩, 모두 64개가 제거된다. 그다음에는 그 64개 각각의 둘레에서 훨씬 더 작은 정사각형 8개씩이 제거된다.

영어 원문 보기

[T] The Sierpinski gasket is obtained by dividing the unit square into nine equal sub-squares, removing the middle square, then doing the same at each stage to the remaining sub-squares. The figure shows the remaining set after four iterations. Compute the total area removed after $N$ stages, and compute the length the total perimeter of the remaining set after $N$ stages.

정답·풀이 보기

1단계에서는 넓이가 $1/9$ 인 정사각형이 제거되고, 2단계에서는 넓이가 $1/{9}^{2}$ 인 정사각형 $8$ 개가 제거되며, 3단계에서는 넓이가 $1/{9}^{3}$ 인 정사각형 ${8}^{2}$ 개가 제거되고, 이와 같이 계속된다. $N$ 단계 후 제거된 전체 넓이는 $\sum_{n=0}^{N-1}{8}^{N}/{9}^{N+1}=\frac{1}{8}(1-{(8/9)}^{N})/(1-8/9)\to 1$

이다( $N\to \infty$ 일 때). 전체 둘레는 $4+4\sum_{n=0}{8}^{N}/{3}^{N+1}\to \infty$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

At stage one a square of area $1/9$ is removed, at stage $2$ one removes $8$ squares of area $1/{9}^{2},$ at stage three one removes ${8}^{2}$ squares of area $1/{9}^{3},$ and so on. The total removed area after $N$ stages is $\sum_{n=0}^{N-1}{8}^{N}/{9}^{N+1}=\frac{1}{8}(1-{(8/9)}^{N})/(1-8/9)\to 1$

as $N\to \infty .$ The total perimeter is $4+4\sum_{n=0}{8}^{N}/{3}^{N+1}\to \infty .$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 29번우리말 번역

다음과 같은 ${a}_{n}$ 에 대하여, 그 합을 $\sum_{n=1}^{\infty }a{r}^{n}$ 꼴의 등비급수로 나타내세요. 이 급수가 수렴하는지 말하고, 수렴하면 $\sum {a}_{n}$ 의 값을 구하세요.

모든 $n\ge 1$ 에 대해 ${a}_{1}=10$ 이고 ${a}_{n}/{a}_{n+1}=10$ 이다.

다 풀었으면 정답 확인

$\sum_{n=1}^{\infty }100\cdot {(1/10)}^{n},$ $100/9$ 로 수렴한다

이 문제로 이어서 풀기

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석자동 분류