발산 판정법과 적분 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.3절 · 20번

OpenStax 2권 · 5.3절 · 20번대학 수준우리말 번역

주어진 $p$ -급수가 수렴하는지 말하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{n}^{\pi }}{{n}^{2e}}$

영어 원문 보기

State whether the given $p$ -series converges.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{n}^{\pi }}{{n}^{2e}}$

정답·풀이 보기

급수는 수렴한다. $p=2e-\pi >1.$

원본 교재 풀이(영어)

Series converges, $p=2e-\pi >1.$

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 8.3절 · 41번우리말 번역

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 이 수렴한다고 할 때, 다음 급수 중 어느 것이 수렴하는지, 수렴할 수도 있는지, 수렴하지 않는지 말하세요.

(a) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}n$ (b) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_na_{n+1}$ (c) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (a_n)^2$ (d) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty na_n$ (e) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n}$

다 풀었으면 정답 확인

(a) 수렴한다. $\frac{a_n}{n}<a_n$ 이므로 비교판정법을 쓴다. (b) 수렴한다. 원래 급수가 수렴하므로 $\lim_{n\to\infty}a_n = 0$ 임을 안다. 따라서 충분히 큰 $n$ 에 대해 $a_na_{n+1} < a_n$ 이다. (c) 수렴한다. (b)와 비슷한 논리로 $(a_n)^2<a_n$ 이다. (d) 수렴할 수도 있다. 분명히 $na_n > a_n$ 이지만, 그렇다고 해서 수렴하지 않는다는 뜻은 아니다. (e) 수렴하지 않는다. (b)의 논리와 $n^{th}$ 항 판정법을 이용한다.

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