발산 판정법과 적분 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.3절 · 34번

OpenStax 2권 · 5.3절 · 34번대학 수준우리말 번역

추정식 ${R}_{N}\le {\int }_{N}^{\infty }f(t)dt$ 를 이용하여 ${a}_{n}=f(n)$ 일 때 나머지 ${R}_{N}=\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}-\sum_{n=1}^{N}{a}_{n}$ 의 한계(상한)를 구하세요.

$\sum_{n=1}^{1000}\frac{1}{1+{n}^{2}}$

영어 원문 보기

Use the estimate ${R}_{N}\le {\int }_{N}^{\infty }f(t)dt$ to find a bound for the remainder ${R}_{N}=\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}-\sum_{n=1}^{N}{a}_{n}$ where ${a}_{n}=f(n).$

$\sum_{n=1}^{1000}\frac{1}{1+{n}^{2}}$

정답·풀이 보기

${R}_{1000}\le {\int }_{1000}^{\infty }\frac{dt}{1+{t}^{2}}={\tan }^{-1}\infty -{\tan }^{-1}(1000)=\pi /2-{\tan }^{-1}(1000)\approx 0.000999$

원본 교재 풀이(영어)

${R}_{1000}\le {\int }_{1000}^{\infty }\frac{dt}{1+{t}^{2}}={\tan }^{-1}\infty -{\tan }^{-1}(1000)=\pi /2-{\tan }^{-1}(1000)\approx 0.000999$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.3절 · 46번우리말 번역

$n\to \infty$ 일 때 $\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots +\frac{1}{2n}$ 의 극한을 구하세요. (힌트: ${\int }_{n}^{2n}\frac{1}{t}dt.)$ 와 비교하세요.

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$\ln (2)$

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