발산 판정법과 적분 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.3절 · 38번

OpenStax 2권 · 5.3절 · 38번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 나머지 추정식 ${\int }_{N+1}^{\infty }f<{R}_{N}<{\int }_{N}^{\infty }f$ 가 $\sum_{n=1}^{N}{a}_{n}$ 이 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 을 주어진 오차 이내로 정확하게 추정함을 보장하도록 하는 $N$ 의 최솟값을 구하세요.

${a}_{n}=\frac{1}{{n}^{1.01}}$ , 오차 $<{10}^{-4}$

영어 원문 보기

[T] Find the minimum value of $N$ such that the remainder estimate ${\int }_{N+1}^{\infty }f<{R}_{N}<{\int }_{N}^{\infty }f$ guarantees that $\sum_{n=1}^{N}{a}_{n}$ estimates $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n},$ accurate to within the given error.

${a}_{n}=\frac{1}{{n}^{1.01}},$ error $<{10}^{-4}$

정답·풀이 보기

${R}_{N}<{\int }_{N}^{\infty }\frac{dx}{{x}^{1.01}}=100{N}^{-0.01},N>{10}^{600}$

원본 교재 풀이(영어)

${R}_{N}<{\int }_{N}^{\infty }\frac{dx}{{x}^{1.01}}=100{N}^{-0.01},N>{10}^{600}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.3절 · 42번우리말 번역

다음 연습문제에서 ${R}_{N}$ 이 목표 오차보다 작아지도록 하는 $N$ 의 값을 구하세요. 그에 해당하는 합 $\sum_{n=1}^{N}{a}_{n}$ 을 계산하고, 무한급수의 주어진 추정값과 비교하세요.

${a}_{n}=\frac{1}{{e}^{n}}$ , 오차 $<{10}^{-5},$ $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{e}^{n}}=\frac{1}{e-1}=0.581976\ldots$

다 풀었으면 정답 확인

${R}_{N}<{\int }_{N}^{\infty }\frac{dx}{{e}^{x}}={e}^{-N},N>5\ln (10)$ 이므로 $N=12;\sum_{n=1}^{12}{e}^{-n}=0.581973$ 이면 충분하다. 추정값은 $1/(e-1)$ 과 소수 다섯째 자리까지 일치한다.

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