발산 판정법과 적분 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.3절 · 42번

OpenStax 2권 · 5.3절 · 42번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 ${R}_{N}$ 이 목표 오차보다 작아지도록 하는 $N$ 의 값을 구하세요. 그에 해당하는 합 $\sum_{n=1}^{N}{a}_{n}$ 을 계산하고, 무한급수의 주어진 추정값과 비교하세요.

${a}_{n}=\frac{1}{{e}^{n}}$ , 오차 $<{10}^{-5},$ $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{e}^{n}}=\frac{1}{e-1}=0.581976\ldots$

영어 원문 보기

In the following exercises, find a value of $N$ such that ${R}_{N}$ is smaller than the desired error. Compute the corresponding sum $\sum_{n=1}^{N}{a}_{n}$ and compare it to the given estimate of the infinite series.

${a}_{n}=\frac{1}{{e}^{n}},$ error $<{10}^{-5},$ $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{e}^{n}}=\frac{1}{e-1}=0.581976\ldots$

정답·풀이 보기

${R}_{N}<{\int }_{N}^{\infty }\frac{dx}{{e}^{x}}={e}^{-N},N>5\ln (10)$ 이므로 $N=12;\sum_{n=1}^{12}{e}^{-n}=0.581973$ 이면 충분하다. 추정값은 $1/(e-1)$ 과 소수 다섯째 자리까지 일치한다.

원본 교재 풀이(영어)

${R}_{N}<{\int }_{N}^{\infty }\frac{dx}{{e}^{x}}={e}^{-N},N>5\ln (10),$ okay if $N=12;\sum_{n=1}^{12}{e}^{-n}=0.581973....$ Estimate agrees with $1/(e-1)$ to five decimal places.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.3절 · 54번우리말 번역

$p$ 가 충분히 크면 $\sum_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n{(\ln n)}^{p}}$ 은 수렴하는가? 그렇다면 어떤 $p$ 에 대해 수렴하는지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 급수는 변수변환을 이용한 적분판정법에 의해 $p>1$ 일 때 수렴한다.

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