발산 판정법과 적분 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.3절 · 54번

OpenStax 2권 · 5.3절 · 54번대학 수준우리말 번역

$p$ 가 충분히 크면 $\sum_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n{(\ln n)}^{p}}$ 은 수렴하는가? 그렇다면 어떤 $p$ 에 대해 수렴하는지 구하세요.

영어 원문 보기

Does $\sum_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n{(\ln n)}^{p}}$ converge if $p$ is large enough? If so, for which $p?$

정답·풀이 보기

이 급수는 변수변환을 이용한 적분판정법에 의해 $p>1$ 일 때 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

The series converges for $p>1$ by integral test using change of variable.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.3절 · 52번우리말 번역

나머지 추정이 $[N,\infty )$ 에서 적용되려면 $f(x)$ 가 $[N,\infty )$ 에서 감소하는 것으로 충분하고, $f$ 가 $[1,\infty )$ 에서 감소할 필요는 없음을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

${b}_{n}={a}_{n+N}$ 과 $g(t)=f(t+N)$ 으로 놓으면 $f$ 는 $[t,\infty )$ 에서 감소한다.