발산 판정법과 적분 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.3절 · 44번

OpenStax 2권 · 5.3절 · 44번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 ${R}_{N}$ 이 원하는 오차보다 작아지도록 하는 $N$ 의 값을 구하세요. 이에 대응하는 합 $\sum_{n=1}^{N}{a}_{n}$ 을 구하고, 주어진 무한급수의 추정값과 비교하세요.

${a}_{n}=1/{n}^{4}$ , 오차 $<{10}^{-4},$ $\sum_{n=1}^{\infty }1/{n}^{4}={\pi }^{4}/90=1.08232...$

영어 원문 보기

In the following exercises, find a value of $N$ such that ${R}_{N}$ is smaller than the desired error. Compute the corresponding sum $\sum_{n=1}^{N}{a}_{n}$ and compare it to the given estimate of the infinite series.

${a}_{n}=1/{n}^{4},$ error $<{10}^{-4},$ $\sum_{n=1}^{\infty }1/{n}^{4}={\pi }^{4}/90=1.08232...$

정답·풀이 보기

${R}_{N}<{\int }_{N}^{\infty }dx/{x}^{4}=1/3{N}^{3},N>{({10}^{4}/3)}^{1/3}$ 이므로 $N=15$ 이면 충분하다.

$\sum_{n=1}^{15}1/{n}^{4}=1.08226\ldots$ 이 추정값은 합과 소수 셋째 자리까지 일치한다.

원본 교재 풀이(영어)

${R}_{N}<{\int }_{N}^{\infty }dx/{x}^{4}=1/3{N}^{3},N>{({10}^{4}/3)}^{1/3},$ okay if $N=15;$

$\sum_{n=1}^{15}1/{n}^{4}=1.08226\ldots .$ Estimate agrees with the sum to three decimal places.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.3절 · 34번우리말 번역

추정식 ${R}_{N}\le {\int }_{N}^{\infty }f(t)dt$ 를 이용하여 ${a}_{n}=f(n)$ 일 때 나머지 ${R}_{N}=\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}-\sum_{n=1}^{N}{a}_{n}$ 의 한계(상한)를 구하세요.

$\sum_{n=1}^{1000}\frac{1}{1+{n}^{2}}$

다 풀었으면 정답 확인

${R}_{1000}\le {\int }_{1000}^{\infty }\frac{dt}{1+{t}^{2}}={\tan }^{-1}\infty -{\tan }^{-1}(1000)=\pi /2-{\tan }^{-1}(1000)\approx 0.000999$

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