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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

교대급수

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 2권 · 5.5절 · 12번대학 수준우리말 번역

다음 각 급수가 절대수렴하는지, 조건수렴하는지, 또는 수렴하지 않는지 말하세요.

∑n=1∞(−1)n+1cos⁡2(1/n)\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{\cos }^{2}(1/n)

영어 원문 보기

State whether each of the following series converges absolutely, conditionally, or not at all.

∑n=1∞(−1)n+1cos⁡2(1/n)\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{\cos }^{2}(1/n)

정답·풀이 보기

lim⁡n→∞cos⁡2(1/n)=1\lim_{n\to \infty }{\cos }^{2}(1/n)=1. 발산판정법에 의해 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

lim⁡n→∞cos⁡2(1/n)=1.\lim_{n\to \infty }{\cos }^{2}(1/n)=1. Diverges by divergence test.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.5절 · 64번우리말 번역

[계산기 사용] 교대조화급수는 항들 사이의 상쇄 때문에 수렴합니다. 이 상쇄를 명확하게 나타낼 수 있으므로 그 합을 알 수 있습니다. 임의 조화급수란 ∑n=1∞Snn\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{S}_{n}}{n} 꼴의 급수로, 여기서 sn{s}_{n} 은 ±1’s\pm 1\text{'s} 를 무작위로 생성한 수열이며 ±1\pm 1 의 값이 나올 가능성은 같습니다. 난수 생성기를 사용하여 무작위 ±1s\pm 1\text{s} 를 1000개 만들고, 이 임의 조화수열의 부분합 SN=∑n=1Nsnn{S}_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{{s}_{n}}{n} 의 N=1N=1 부터 10001000 까지의 그래프를 그리세요. 이를 조화급수의 처음 10001000 개의 부분합 그래프와 비교하세요.

다 풀었으면 정답 확인

다음은 전형적인 결과이다. 위쪽 곡선은 조화급수의 부분합으로 이루어져 있다. 아래쪽 곡선은 임의 조화급수의 부분합을 나타낸다.

두 개의 곡선을 보여 준다. 위쪽 곡선은 위로 볼록한 증가 곡선이다. 아래쪽 곡선은 들쭉날쭉한 임의 조화급수의 그래프로, 0 가까이에 머문다.

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# 교대급수계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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