교대급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.5절 · 64번

OpenStax 2권 · 5.5절 · 64번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 교대조화급수는 항들 사이의 상쇄 때문에 수렴합니다. 이 상쇄를 명확하게 나타낼 수 있으므로 그 합을 알 수 있습니다. 임의 조화급수란 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{S}_{n}}{n}$ 꼴의 급수로, 여기서 ${s}_{n}$ 은 $\pm 1\text{'s}$ 를 무작위로 생성한 수열이며 $\pm 1$ 의 값이 나올 가능성은 같습니다. 난수 생성기를 사용하여 무작위 $\pm 1\text{s}$ 를 1000개 만들고, 이 임의 조화수열의 부분합 ${S}_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{{s}_{n}}{n}$ 의 $N=1$ 부터 $1000$ 까지의 그래프를 그리세요. 이를 조화급수의 처음 $1000$ 개의 부분합 그래프와 비교하세요.

영어 원문 보기

[T] The alternating harmonic series converges because of cancellation among its terms. Its sum is known because the cancellation can be described explicitly. A random harmonic series is one of the form $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{S}_{n}}{n},$ where ${s}_{n}$ is a randomly generated sequence of $\pm 1\text{'s}$ in which the values $\pm 1$ are equally likely to occur. Use a random number generator to produce $1000$ random $\pm 1\text{s}$ and plot the partial sums ${S}_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{{s}_{n}}{n}$ of your random harmonic sequence for $N=1$ to $1000.$ Compare to a plot of the first $1000$ partial sums of the harmonic series.

정답·풀이 보기

다음은 전형적인 결과이다. 위쪽 곡선은 조화급수의 부분합으로 이루어져 있다. 아래쪽 곡선은 임의 조화급수의 부분합을 나타낸다.

두 개의 곡선을 보여 준다. 위쪽 곡선은 위로 볼록한 증가 곡선이다. 아래쪽 곡선은 들쭉날쭉한 임의 조화급수의 그래프로, 0 가까이에 머문다.

원본 교재 풀이(영어)

Here is a typical result. The top curve consists of partial sums of the harmonic series. The bottom curve plots partial sums of a random harmonic series.

This shows two curves. The top is an increasing concave down curve. The bottom is a jagged, random harmonic series plot that stays close to 0.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.5절 · 14번우리말 번역

다음 각 급수가 절대수렴하는지, 조건수렴하는지, 또는 수렴하지 않는지 말하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$

다 풀었으면 정답 확인

교대급수판정법에 의해 수렴한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 교대급수계산자동 분류