교대급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.5절 · 22번

OpenStax 2권 · 5.5절 · 22번대학 수준우리말 번역

다음 각 급수가 절대수렴하는지, 조건수렴하는지, 또는 수렴하지 않는지 말하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)$ (힌트: 통분한 다음 분자를 유리화하세요.)

영어 원문 보기

State whether each of the following series converges absolutely, conditionally, or not at all.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)$ (Hint: Find common denominator then rationalize numerator.)

정답·풀이 보기

힌트를 적용한 후 p-급수( $p=3/2,$ )와의 극한비교에 의해 절대수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges absolutely by limit comparison with p-series, $p=3/2,$ after applying the hint.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.5절 · 42번우리말 번역

${a}_{n}^{+}={a}_{n}$ ( ${a}_{n}\ge 0$ 일 때), ${a}_{n}^{-}=-{a}_{n}$ ( ${a}_{n}<0$ 일 때)라 하자. (또한 ${a}_{n}^{+}=0\,\text{(단,}\,{a}_{n}<0$ 일 때), ${a}_{n}^{-}=0\,\text{(단,}\,{a}_{n}\ge 0.)$ 일 때이다.) $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 조건수렴하지만 절대수렴하지 않으면, $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}^{+}$ 도 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}^{-}$ 도 수렴하지 않는다.

다 풀었으면 정답 확인

참이다. 둘 중 하나가 수렴하면 다른 하나도 수렴해야 하므로 절대수렴이 되기 때문이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 교대급수계산자동 분류