교대급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.5절 · 42번

OpenStax 2권 · 5.5절 · 42번대학 수준우리말 번역

${a}_{n}^{+}={a}_{n}$ ( ${a}_{n}\ge 0$ 일 때), ${a}_{n}^{-}=-{a}_{n}$ ( ${a}_{n}<0$ 일 때)라 하자. (또한 ${a}_{n}^{+}=0\,\text{(단,}\,{a}_{n}<0$ 일 때), ${a}_{n}^{-}=0\,\text{(단,}\,{a}_{n}\ge 0.)$ 일 때이다.) $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 조건수렴하지만 절대수렴하지 않으면, $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}^{+}$ 도 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}^{-}$ 도 수렴하지 않는다.

영어 원문 보기

Let ${a}_{n}^{+}={a}_{n}$ if ${a}_{n}\ge 0$ and ${a}_{n}^{-}=-{a}_{n}$ if ${a}_{n}<0.$ (Also, ${a}_{n}^{+}=0\,\text{if}\,{a}_{n}<0$ and ${a}_{n}^{-}=0\,\text{if}\,{a}_{n}\ge 0.)$ If $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converges conditionally but not absolutely, then neither $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}^{+}$ nor $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}^{-}$ converge.

정답·풀이 보기

참이다. 둘 중 하나가 수렴하면 다른 하나도 수렴해야 하므로 절대수렴이 되기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

True. If one converges, then so must the other, implying absolute convergence.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.5절 · 24번우리말 번역

다음 각 급수가 절대수렴하는지, 조건수렴하는지, 또는 수렴하지 않는지 말하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}n({\tan }^{-1}(n+1)-{\tan }^{-1}n)$ (힌트: 평균값 정리를 이용하세요.)

다 풀었으면 정답 확인

$n({\tan }^{-1}(n+1)-{\tan }^{-1}n)$ 이 충분히 큰 $n$ 에 대해 0으로 감소하므로 교대급수 판정법에 의해 수렴한다. 힌트를 적용한 후 조화급수와의 극한비교에 의해 절대수렴하지 않는다.

이 문제로 이어서 풀기

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