교대급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.5절 · 24번

OpenStax 2권 · 5.5절 · 24번대학 수준우리말 번역

다음 각 급수가 절대수렴하는지, 조건수렴하는지, 또는 수렴하지 않는지 말하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}n({\tan }^{-1}(n+1)-{\tan }^{-1}n)$ (힌트: 평균값 정리를 이용하세요.)

영어 원문 보기

State whether each of the following series converges absolutely, conditionally, or not at all.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}n({\tan }^{-1}(n+1)-{\tan }^{-1}n)$ (Hint: Use Mean Value Theorem.)

정답·풀이 보기

$n({\tan }^{-1}(n+1)-{\tan }^{-1}n)$ 이 충분히 큰 $n$ 에 대해 0으로 감소하므로 교대급수 판정법에 의해 수렴한다. 힌트를 적용한 후 조화급수와의 극한비교에 의해 절대수렴하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges by alternating series test since $n({\tan }^{-1}(n+1)-{\tan }^{-1}n)$ is decreasing to zero for large $n.$ Does not converge absolutely by limit comparison with harmonic series after applying hint.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.5절 · 32번우리말 번역

다음 각 문제에서 추정식 $|{R}_{N}|\le {b}_{N+1}$ 을 이용하여, 교대급수 $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{b}_{n}$ 의 첫 $N$ 개 항의 합이 무한합과 주어진 오차 이하로 차이 나도록 보장하는 $N$ 의 값을 구하세요. 이 $N$ 에 대한 부분합 ${S}_{N}$ 을 계산하세요.

[계산기 사용] ${b}_{n}=1/\ln (n),$ $n\ge 2$ , 오차 $<{10}^{-1}$

다 풀었으면 정답 확인

$\ln (N+1)>10,$ $N+1>{e}^{10},$ $N\ge 22026;$ ${S}_{22026}=-0.9743\ldots$

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