교대급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.5절 · 34번

OpenStax 2권 · 5.5절 · 34번대학 수준우리말 번역

다음 각 문제에서 추정식 $|{R}_{N}|\le {b}_{N+1}$ 을 이용하여, 교대급수 $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{b}_{n}$ 의 첫 $N$ 개 항의 합이 무한합과 주어진 오차 이하로 차이 나도록 보장하는 $N$ 의 값을 구하세요. 이 $N$ 에 대한 부분합 ${S}_{N}$ 을 계산하세요.

[계산기 사용] ${b}_{n}=1/{2}^{n}$ , 오차 $<{10}^{-6}$

영어 원문 보기

In each of the following problems, use the estimate $|{R}_{N}|\le {b}_{N+1}$ to find a value of $N$ that guarantees that the sum of the first $N$ terms of the alternating series $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{b}_{n}$ differs from the infinite sum by at most the given error. Calculate the partial sum ${S}_{N}$ for this $N.$

[T] ${b}_{n}=1/{2}^{n},$ error $<{10}^{-6}$

정답·풀이 보기

${2}^{N+1}>{10}^{6}$ or $N+1>6\ln (10)/\ln (2)=19.93.$ or $N\ge 19;$ ${S}_{19}=0.333333969\ldots$

원본 교재 풀이(영어)

${2}^{N+1}>{10}^{6}$ or $N+1>6\ln (10)/\ln (2)=19.93.$ or $N\ge 19;$ ${S}_{19}=0.333333969\ldots$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.5절 · 50번우리말 번역

$\sum {a}_{n}$ 이 절대수렴한다고 하자. 양의 항 ${a}_{n}$ 으로 이루어진 급수도 수렴함을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

${a}_{n}\ge 0$ 이면 ${a}^{+}{}_{n}={a}_{n}$ 으로, ${a}_{n}<0$ 이면 ${a}^{+}{}_{n}=0$ 으로 정의하자. 그러면 모든 $n$ 에 대해 ${a}^{+}{}_{n}\le |{a}_{n}|$ 이므로, ${a}^{+}{}_{n}$ 의 부분합으로 이루어진 수열은 증가하고, 수렴하는 $|{a}_{n}|$ 의 부분합으로 이루어진 수열에 의해 위로 유계이다. 따라서 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{+}{}_{n}$ 은 수렴한다.

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