교대급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.5절 · 50번

OpenStax 2권 · 5.5절 · 50번대학 수준우리말 번역

$\sum {a}_{n}$ 이 절대수렴한다고 하자. 양의 항 ${a}_{n}$ 으로 이루어진 급수도 수렴함을 보이세요.

영어 원문 보기

Suppose that $\sum {a}_{n}$ converges absolutely. Show that the series consisting of the positive terms ${a}_{n}$ also converges.

정답·풀이 보기

${a}_{n}\ge 0$ 이면 ${a}^{+}{}_{n}={a}_{n}$ 으로, ${a}_{n}<0$ 이면 ${a}^{+}{}_{n}=0$ 으로 정의하자. 그러면 모든 $n$ 에 대해 ${a}^{+}{}_{n}\le |{a}_{n}|$ 이므로, ${a}^{+}{}_{n}$ 의 부분합으로 이루어진 수열은 증가하고, 수렴하는 $|{a}_{n}|$ 의 부분합으로 이루어진 수열에 의해 위로 유계이다. 따라서 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{+}{}_{n}$ 은 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Let ${a}^{+}{}_{n}={a}_{n}$ if ${a}_{n}\ge 0$ and ${a}^{+}{}_{n}=0$ if ${a}_{n}<0.$ Then ${a}^{+}{}_{n}\le |{a}_{n}|$ for all $n$ so the sequence of partial sums of ${a}^{+}{}_{n}$ is increasing and bounded above by the sequence of partial sums of $|{a}_{n}|,$ which converges; hence, $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{+}{}_{n}$ converges.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.5절 · 48번우리말 번역

다음 급수는 서술된 대로의 교대급수판정법의 조건을 만족하지 않는다.

각 경우에 어떤 조건이 만족되지 않는지 말하세요. 그 급수가 절대수렴하는지 말하세요.

$1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+\cdots$

다 풀었으면 정답 확인

교대하지 않는다. $\sum_{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{3n-2}+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n}\right)$ 로 나타낼 수 있으며, 이 급수는 $\sum \frac{1}{3n-2}$ 과의 비교에 의해 발산한다.

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