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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

교대급수

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 2권 · 5.5절 · 36번대학 수준우리말 번역

다음 각 문제에서, 추정식 ∣RN∣≤bN+1|{R}_{N}|\le {b}_{N+1} 을 이용하여 교대급수 ∑n=1∞(−1)n+1bn\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{b}_{n} 의 첫 NN 개 항의 합이 무한급수의 합과 주어진 오차 이내로만 차이 나도록 보장하는 NN 의 값을 구하세요. 이 NN 에 대해 부분합 SN{S}_{N} 을 계산하세요.

[계산기 사용] bn=1/n2{b}_{n}=1/{n}^{2}, 오차 <10−6<{10}^{-6}

영어 원문 보기

In each of the following problems, use the estimate ∣RN∣≤bN+1|{R}_{N}|\le {b}_{N+1} to find a value of NN that guarantees that the sum of the first NN terms of the alternating series ∑n=1∞(−1)n+1bn\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{b}_{n} differs from the infinite sum by at most the given error. Calculate the partial sum SN{S}_{N} for this N.N.

[T] bn=1/n2,{b}_{n}=1/{n}^{2}, error <10−6<{10}^{-6}

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

(N+1)2>106{(N+1)}^{2}>{10}^{6} or N>999;N>999; S1000≈0.822466.{S}_{1000}\approx 0.822466.

원본 교재 풀이(영어)

(N+1)2>106{(N+1)}^{2}>{10}^{6} or N>999;N>999; S1000≈0.822466.{S}_{1000}\approx 0.822466.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.5절 · 44번우리말 번역

an{a}_{n} 이 0과 1로 이루어진 모든 가능한 수열 bn{b}_{n} 에 대해 ∑n=1∞anbn\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n} 이 수렴하는 수열이라 하자. ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n} 은 절대수렴하나요?

다 풀었으면 정답 확인

예. an≥0{a}_{n}\ge 0 이면 bn=1{b}_{n}=1 로, an<0{a}_{n}<0 이면 bn=0{b}_{n}=0 으로 잡는다. 그러면 ∑n=1∞anbn=∑n:an≥0an\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}=\sum_{n:{a}_{n}\ge 0}{a}_{n} 이 수렴한다. 같은 방법으로 ∑n:an<0an\sum_{n:{a}_{n}<0}{a}_{n} 도 수렴함을 보일 수 있다. 두 급수가 모두 수렴하므로 이 급수는 절대수렴한다.

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# 교대급수계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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