교대급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.5절 · 44번

OpenStax 2권 · 5.5절 · 44번대학 수준우리말 번역

${a}_{n}$ 이 0과 1로 이루어진 모든 가능한 수열 ${b}_{n}$ 에 대해 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ 이 수렴하는 수열이라 하자. $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 은 절대수렴하나요?

영어 원문 보기

Suppose that ${a}_{n}$ is a sequence such that $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ converges for every possible sequence ${b}_{n}$ of zeros and ones. Does $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converge absolutely?

정답·풀이 보기

예. ${a}_{n}\ge 0$ 이면 ${b}_{n}=1$ 로, ${a}_{n}<0$ 이면 ${b}_{n}=0$ 으로 잡는다. 그러면 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}=\sum_{n:{a}_{n}\ge 0}{a}_{n}$ 이 수렴한다. 같은 방법으로 $\sum_{n:{a}_{n}<0}{a}_{n}$ 도 수렴함을 보일 수 있다. 두 급수가 모두 수렴하므로 이 급수는 절대수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes. Take ${b}_{n}=1$ if ${a}_{n}\ge 0$ and ${b}_{n}=0$ if ${a}_{n}<0.$ Then $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}=\sum_{n:{a}_{n}\ge 0}{a}_{n}$ converges. Similarly, one can show $\sum_{n:{a}_{n}<0}{a}_{n}$ converges. Since both series converge, the series must converge absolutely.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.5절 · 56번우리말 번역

교대급수 $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}{b}_{n}$ 이 절대수렴하는 급수 $\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}$ 의 어떤 분수 배로 더 빠르게 수렴하는 경우가 있다. $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}=\frac{{\pi }^{2}}{6}$ 이 주어졌을 때, $12=1-\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}-\frac{1}{{4}^{2}}+\cdots$ 을 구하세요. 두 급수 $6\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}$ 과 $S\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{{n}^{2}}$ 중 $1000$ 개의 항을 사용하여 ${\pi }^{2}$ 을 더 잘 어림하는 것은 어느 것인가요?

다 풀었으면 정답 확인

$T=\sum \frac{1}{{n}^{2}}$ 이라 하자. 그러면 $T-S=\frac{1}{2}T$ 이므로 $S=T/2$ 이다. $\sqrt{6\,\times \,\sum_{n=1}^{1000}1/{n}^{2}}=3.140638\ldots ;$ $\sqrt{12\,\times \,\sum_{n=1}^{1000}{(-1)}^{n-1}/{n}^{2}}=3.141591\ldots ;$

$\pi =3.141592\ldots$ 이다. $1000$ 개의 항을 사용할 때 교대급수가 더 정확하다.

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# 교대급수계산자동 분류