교대급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.5절 · 56번

OpenStax 2권 · 5.5절 · 56번대학 수준우리말 번역

교대급수 $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}{b}_{n}$ 이 절대수렴하는 급수 $\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}$ 의 어떤 분수 배로 더 빠르게 수렴하는 경우가 있다. $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}=\frac{{\pi }^{2}}{6}$ 이 주어졌을 때, $12=1-\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}-\frac{1}{{4}^{2}}+\cdots$ 을 구하세요. 두 급수 $6\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}$ 과 $S\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{{n}^{2}}$ 중 $1000$ 개의 항을 사용하여 ${\pi }^{2}$ 을 더 잘 어림하는 것은 어느 것인가요?

영어 원문 보기

Sometimes the alternating series $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}{b}_{n}$ converges to a certain fraction of an absolutely convergent series $\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}$ at a faster rate. Given that $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}=\frac{{\pi }^{2}}{6},$ find $12=1-\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}-\frac{1}{{4}^{2}}+\cdots .$ Which of the series $6\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}$ and $S\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{{n}^{2}}$ gives a better estimation of ${\pi }^{2}$ using $1000$ terms?

정답·풀이 보기

$T=\sum \frac{1}{{n}^{2}}$ 이라 하자. 그러면 $T-S=\frac{1}{2}T$ 이므로 $S=T/2$ 이다. $\sqrt{6\,\times \,\sum_{n=1}^{1000}1/{n}^{2}}=3.140638\ldots ;$ $\sqrt{12\,\times \,\sum_{n=1}^{1000}{(-1)}^{n-1}/{n}^{2}}=3.141591\ldots ;$

$\pi =3.141592\ldots$ 이다. $1000$ 개의 항을 사용할 때 교대급수가 더 정확하다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $T=\sum \frac{1}{{n}^{2}}.$ Then $T-S=\frac{1}{2}T,$ so $S=T/2.$ $\sqrt{6\,\times \,\sum_{n=1}^{1000}1/{n}^{2}}=3.140638\ldots ;$ $\sqrt{12\,\times \,\sum_{n=1}^{1000}{(-1)}^{n-1}/{n}^{2}}=3.141591\ldots ;$

$\pi =3.141592\ldots .$ The alternating series is more accurate for $1000$ terms.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.5절 · 34번우리말 번역

다음 각 문제에서 추정식 $|{R}_{N}|\le {b}_{N+1}$ 을 이용하여, 교대급수 $\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{b}_{n}$ 의 첫 $N$ 개 항의 합이 무한합과 주어진 오차 이하로 차이 나도록 보장하는 $N$ 의 값을 구하세요. 이 $N$ 에 대한 부분합 ${S}_{N}$ 을 계산하세요.

[계산기 사용] ${b}_{n}=1/{2}^{n}$ , 오차 $<{10}^{-6}$

다 풀었으면 정답 확인

${2}^{N+1}>{10}^{6}$ or $N+1>6\ln (10)/\ln (2)=19.93.$ or $N\ge 19;$ ${S}_{19}=0.333333969\ldots$

이 문제로 이어서 풀기

# 교대급수계산자동 분류