교대급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.5절 · 48번

OpenStax 2권 · 5.5절 · 48번대학 수준우리말 번역

다음 급수는 서술된 대로의 교대급수판정법의 조건을 만족하지 않는다.

각 경우에 어떤 조건이 만족되지 않는지 말하세요. 그 급수가 절대수렴하는지 말하세요.

$1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+\cdots$

영어 원문 보기

The following series do not satisfy the hypotheses of the alternating series test as stated.

In each case, state which hypothesis is not satisfied. State whether the series converges absolutely.

$1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+\cdots$

정답·풀이 보기

교대하지 않는다. $\sum_{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{3n-2}+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n}\right)$ 로 나타낼 수 있으며, 이 급수는 $\sum \frac{1}{3n-2}$ 과의 비교에 의해 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

Not alternating. Can be expressed as $\sum_{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{3n-2}+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n}\right),$ which diverges by comparison with $\sum \frac{1}{3n-2}.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.5절 · 52번우리말 번역

공식 $\cos \theta =1-\frac{{\theta }^{2}}{2!}+\frac{{\theta }^{4}}{4!}-\frac{{\theta }^{6}}{6!}+\cdots$ 은 다음 단원에서 유도할 것이다. 나머지 $|{R}_{N}|\le {b}_{N+1}$ 을 이용하여, $\theta =1,$ $\theta =\pi /6,$ $\theta =\pi$ 일 때 $\cos \theta$ 를 제5부분합 $1-{\theta }^{2}/2!+{\theta }^{4}/4!-{\theta }^{6}/6!+{\theta }^{8}/8!$ 로 어림할 때 생기는 오차의 한계를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$N=5$ 일 때 $|{R}_{N}|{b}_{6}={\theta }^{10}/10!$ 이다. $\theta =1$ 일 때 ${R}_{5}\le 1/10!\approx 2.75\,\times \,{10}^{-7}$ 이다. $\theta =\pi /6$ 일 때 ${R}_{5}\le {(\pi /6)}^{10}/10!\approx 4.26\,\times \,{10}^{-10}$ 이다. $\theta =\pi$ 일 때 ${R}_{5}\le {\pi }^{10}/10!=0.0258$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 교대급수계산자동 분류