교대급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.5절 · 60번

OpenStax 2권 · 5.5절 · 60번대학 수준우리말 번역

다음 교대급수는 주어진 $\pi$ 의 배수로 수렴합니다. 나머지 추정으로 예측되는 $N$ 의 값을 구하세요. 이때 급수의 $N\text{th}$ 부분합이 좌변을 주어진 오차 이내로 정확하게 근사해야 합니다. 오차 한계가 성립하는 $N$ 의 최솟값을 구하고, 각 경우에 대해 원하는 근삿값을 쓰세요. 소수 15째 자리까지 $\pi =3.141592653589793\ldots$ 입니다.

[계산기 사용] $\sum_{n=1}^{N}{(-1)}^{n-1}\frac{1}{n}\to \ln 2$ 일 때, $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{8}-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\cdots$ 의 값은 얼마인가요?

영어 원문 보기

The following alternating series converge to given multiples of $\pi .$ Find the value of $N$ predicted by the remainder estimate such that the $N\text{th}$ partial sum of the series accurately approximates the left-hand side to within the given error. Find the minimum $N$ for which the error bound holds, and give the desired approximate value in each case. Up to $15$ decimals places, $\pi =3.141592653589793\ldots .$

[T] If $\sum_{n=1}^{N}{(-1)}^{n-1}\frac{1}{n}\to \ln 2,$ what is $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{8}-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\cdots ?$

정답·풀이 보기

$\ln (2)$ 이다. $3n\text{th}$ 부분합은 교대조화급수의 부분합과 같다.

원본 교재 풀이(영어)

$\ln (2).$ The $3n\text{th}$ partial sum is the same as that for the alternating harmonic series.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.5절 · 62번우리말 번역

[계산기 사용] $0\le x<1$ 에 대해 급수 $\sum_{n=1}^{100}\frac{\sin (2\pi nx)}{n}$ 의 그래프를 그리고 그 거동에 대해 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 급수는 양 끝점 근처에서 급격히 뛴다. 끝점에서 떨어진 $x$ 에 대해서는 그래프가 $\pi (1/2-x)$ 와 비슷한 모양이다.

1사분면과 4사분면에 있는 함수를 보여 준다. 이 함수는 (0, 0)에서 시작하여 y축 가까이에서 1.5 바로 아래까지 급격히 증가한 뒤, 직선적으로 감소하여 0.5에서 x축과 만나고, 계속 직선적으로 감소하다가 1 직전에서 0까지 급격히 증가한다.

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