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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

교대급수

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 2권 · 5.5절 · 66번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 오일러 변환은 S=∑n=0∞(−1)nbnS=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{b}_{n} 을 S=∑n=0∞(−1)n2−n−1∑m=0n(nm)bn−mS=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{2}^{-n-1}\sum_{m=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n \\ m\end{array}\right){b}_{n-m} 로 다시 씁니다. 교대조화급수의 경우 이 변환은 ln⁡(2)=∑n=1∞(−1)n−1n=∑n=1∞1n2n\ln (2)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}} 의 꼴이 됩니다. ∑n=1∞1n2n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}} 의 부분합을 계산하여 ln⁡(2)\ln (2) 에 0.00010.0001 이내의 오차로 가까워질 때까지 구하세요. 몇 개의 항이 필요한지 구하세요. 이 답을 ln⁡(2)\ln (2) 를 추정하는 데 교대조화급수의 몇 개의 항이 필요한지와 비교하세요.

영어 원문 보기

[T] The Euler transform rewrites S=∑n=0∞(−1)nbnS=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{b}_{n} as S=∑n=0∞(−1)n2−n−1∑m=0n(nm)bn−m.S=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{2}^{-n-1}\sum_{m=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n \\ m\end{array}\right){b}_{n-m}. For the alternating harmonic series, it takes the form ln⁡(2)=∑n=1∞(−1)n−1n=∑n=1∞1n2n.\ln (2)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}}. Compute partial sums of ∑n=1∞1n2n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}} until they approximate ln⁡(2)\ln (2) accurate to within 0.0001.0.0001. How many terms are needed? Compare this answer to the number of terms of the alternating harmonic series are needed to estimate ln⁡(2).\ln (2).

정답·풀이 보기

교대급수 판정법에 의해 ∣Sn−S∣≤bn+1|{S}_{n}-S|\le {b}_{n+1} 이므로, ln⁡(2)\ln (2) 를 0.00010.0001 이내의 오차로 추정하려면 교대조화급수의 항이 104{10}^{4} 개 필요하다. 급수 ∑n=1∞1n2n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}} 의 처음 1010 개의 부분합은 (소수 넷째 자리까지) 0.5000,0.6250,0.6667,0.6823,0.6885,0.6911,0.6923,0.6928,0.6930,0.69310.5000,0.6250,0.6667,0.6823,0.6885,0.6911,0.6923,0.6928,0.6930,0.6931 이고, 열째 부분합은 ln⁡(2)=0.6931…\ln (2)=0.6931\ldots 에 0.00010.0001 이내로 가깝다.

원본 교재 풀이(영어)

By the alternating series test, ∣Sn−S∣≤bn+1,|{S}_{n}-S|\le {b}_{n+1}, so one needs 104{10}^{4} terms of the alternating harmonic series to estimate ln⁡(2)\ln (2) to within 0.0001.0.0001. The first 1010 partial sums of the series ∑n=1∞1n2n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}} are (up to four decimals) 0.5000,0.6250,0.6667,0.6823,0.6885,0.6911,0.6923,0.6928,0.6930,0.69310.5000,0.6250,0.6667,0.6823,0.6885,0.6911,0.6923,0.6928,0.6930,0.6931 and the tenth partial sum is within 0.00010.0001 of ln⁡(2)=0.6931….\ln (2)=0.6931\ldots .

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.5절 · 16번우리말 번역

다음 각 급수가 절대수렴하는지, 조건수렴하는지, 아니면 수렴하지 않는지 말하세요.

∑n=1∞(−1)n+1ne1+nπ\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}\frac{{n}^{e}}{1+{n}^{\pi }}

다 풀었으면 정답 확인

교대급수 판정법에 의해 조건수렴한다. pp-급수와의 극한비교판정법에 의해 절대수렴하지 않는다, p=π−ep=\pi -e

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# 교대급수계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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