멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 1번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 명제가 참인지 말하고, 거짓이면 그것을 보이는 예를 드세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 수렴하면 $n\to \infty$ 일 때 ${a}_{n}{x}^{n}\to 0$ 이다.

영어 원문 보기

In the following exercises, state whether each statement is true, or give an example to show that it is false.

If $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ converges, then ${a}_{n}{x}^{n}\to 0$ as $n\to \infty .$

정답·풀이 보기

참이다. 급수가 수렴하면 그 항은 0에 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

True. If a series converges then its terms tend to zero.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 3번우리말 번역

임의의 수열 ${a}_{n}$ 에 대하여, 매우 작을 수도 있는 어떤 $R>0$ 이 항상 존재하여 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 $(-R,R)$ 에서 수렴한다.

다 풀었으면 정답 확인

거짓이다. 그렇다면 $|x|<R$ 에 대해 ${a}_{n}{x}^{n}\to 0$ 이어야 한다. ${a}_{n}={n}^{n}$ 이면 ${a}_{n}{x}^{n}={(nx)}^{n}$ 은 $x\ne 0$ 인 어떤 $x$ 에 대해서도 0에 수렴하지 않는다.