멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 3번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 3번대학 수준우리말 번역

임의의 수열 ${a}_{n}$ 에 대하여, 매우 작을 수도 있는 어떤 $R>0$ 이 항상 존재하여 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 $(-R,R)$ 에서 수렴한다.

영어 원문 보기

Given any sequence ${a}_{n},$ there is always some $R>0,$ possibly very small, such that $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ converges on $(-R,R).$

정답·풀이 보기

거짓이다. 그렇다면 $|x|<R$ 에 대해 ${a}_{n}{x}^{n}\to 0$ 이어야 한다. ${a}_{n}={n}^{n}$ 이면 ${a}_{n}{x}^{n}={(nx)}^{n}$ 은 $x\ne 0$ 인 어떤 $x$ 에 대해서도 0에 수렴하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

False. It would imply that ${a}_{n}{x}^{n}\to 0$ for $|x|<R.$ If ${a}_{n}={n}^{n},$ then ${a}_{n}{x}^{n}={(nx)}^{n}$ does not tend to zero for any $x\ne 0.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 5번우리말 번역

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(x-3)}^{n}$ 이 $x=6$ 에서 수렴한다고 하자. 다음 중 이 급수가 발산할 수도 있는 점은 어느 것인지 구하세요. $\sum {a}_{n}{(x-c)}^{n}$ 이 x 에서 수렴하면 c 에 x 보다 더 가까운 모든 점에서도 수렴한다는 사실을 이용하세요.

a. $x=1$ b. $x=2$ c. $x=3$ d. $x=0$ e. $x=5.99$ f. $x=0.000001$

다 풀었으면 정답 확인

이 급수는 $(0,6]$ 에서 반드시 수렴하므로 a. $x=1;$ b. $x=2;$ c. $x=3;$ d. $x=0;$ e. $x=5.99;$ f. $x=0.000001$ 에서 수렴한다.

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