멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 11번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 11번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $n\to \infty$ 일 때 $|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1$ 이라고 가정합니다. 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(-1)}^{n}{x}^{2n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose that $|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1$ as $n\to \infty .$ Find the radius of convergence for each series.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(-1)}^{n}{x}^{2n}$

정답·풀이 보기

$|\frac{{a}_{n+1}{(-1)}^{n+1}{x}^{2n+2}}{{a}_{n}{(-1)}^{n}{x}^{2n}}|=|{x}^{2}||\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to |{x}^{2}|$ so $R=1$

원본 교재 풀이(영어)

$|\frac{{a}_{n+1}{(-1)}^{n+1}{x}^{2n+2}}{{a}_{n}{(-1)}^{n}{x}^{2n}}|=|{x}^{2}||\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to |{x}^{2}|$ so $R=1$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 13번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 계수 ${a}_{n}$ 에 대하여 $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ 의 수렴 반지름 R 과 수렴 구간을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(2x)}^{n}}{n}$

다 풀었으면 정답 확인

${a}_{n}=\frac{{2}^{n}}{n}$ 이므로 $\frac{{a}_{n+1}x}{{a}_{n}}\to 2x$ . 따라서 $R=\frac{1}{2}.$ $x=\frac{1}{2}$ 일 때 급수는 조화급수이므로 발산한다. $x=-\frac{1}{2}$ 일 때 급수는 교대조화급수이므로 수렴한다. 수렴 구간은 $I=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류