멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 13번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 13번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 계수 ${a}_{n}$ 에 대하여 $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ 의 수렴 반지름 R 과 수렴 구간을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(2x)}^{n}}{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence R and interval of convergence for $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ with the given coefficients ${a}_{n}.$

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(2x)}^{n}}{n}$

정답·풀이 보기

${a}_{n}=\frac{{2}^{n}}{n}$ 이므로 $\frac{{a}_{n+1}x}{{a}_{n}}\to 2x$ . 따라서 $R=\frac{1}{2}.$ $x=\frac{1}{2}$ 일 때 급수는 조화급수이므로 발산한다. $x=-\frac{1}{2}$ 일 때 급수는 교대조화급수이므로 수렴한다. 수렴 구간은 $I=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}=\frac{{2}^{n}}{n}$ so $\frac{{a}_{n+1}x}{{a}_{n}}\to 2x.$ so $R=\frac{1}{2}.$ When $x=\frac{1}{2}$ the series is harmonic and diverges. When $x=-\frac{1}{2}$ the series is alternating harmonic and converges. The interval of convergence is $I=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}).$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 15번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 계수 ${a}_{n}$ 에 대해 $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ 의 수렴 반지름 R 과 수렴 구간을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n{x}^{n}}{{2}^{n}}$

다 풀었으면 정답 확인

${a}_{n}=\frac{n}{{2}^{n}}$ 이므로 $\frac{{a}_{n+1}x}{{a}_{n}}\to \frac{x}{2}$ 이고, 따라서 $R=2$ 이다. $x=\pm 2$ 일 때 급수는 발산 판정법에 의해 발산한다. 수렴 구간은 $I=(-2,2)$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류