멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 17번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 17번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 계수 ${a}_{n}$ 에 대해 $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ 의 수렴 반지름 R 과 수렴 구간을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{n}^{2}{x}^{n}}{{2}^{n}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence R and interval of convergence for $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ with the given coefficients ${a}_{n}.$

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{n}^{2}{x}^{n}}{{2}^{n}}$

정답·풀이 보기

${a}_{n}=\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$ 이므로 $R=2$ 이다. $x=\pm 2$ 일 때 급수는 발산 판정법에 의해 발산한다. 수렴 구간은 $I=(-2,2)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}=\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$ so $R=2.$ When $x=\pm 2$ the series diverges by the divergence test. The interval of convergence is $I=(-2,2).$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 61번우리말 번역

[계산기 사용] 구간 $[-2\pi ,2\pi ]$ 에서 $n=3,5,10$ 에 대하여 부분합 ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{(-1)}^{n}\frac{{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$ 의 그래프를 그리세요. N 이 커짐에 따라 이 그래프들이 $\sin x$ 를 어떻게 근사하는지 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 그림은 n=3,5,10 일 때 (-1)^n 곱하기 x^(2n+1) 나누기 (2n+1)! 의 부분합의 그래프이다. 곡선들은 원점 가까이에서는 사인 곡선을 잘 근사하다가, 원점에서 멀어질수록 사인 곡선에서 벌어진다.

다항식의 곡선은 그 차수까지는 $\sin x$ 의 근과 가까운 근을 가지며, 그 이후에는 다항식이 $\sin x$ 에서 벗어나 발산한다.

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