멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 61번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 61번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 구간 $[-2\pi ,2\pi ]$ 에서 $n=3,5,10$ 에 대하여 부분합 ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{(-1)}^{n}\frac{{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$ 의 그래프를 그리세요. N 이 커짐에 따라 이 그래프들이 $\sin x$ 를 어떻게 근사하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] Plot the graphs of the partial sums ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{(-1)}^{n}\frac{{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$ for $n=3,5,10$ on the interval $[-2\pi ,2\pi ].$ Comment on how these plots approximate $\sin x$ as N increases.

정답·풀이 보기

이 그림은 n=3,5,10 일 때 (-1)^n 곱하기 x^(2n+1) 나누기 (2n+1)! 의 부분합의 그래프이다. 곡선들은 원점 가까이에서는 사인 곡선을 잘 근사하다가, 원점에서 멀어질수록 사인 곡선에서 벌어진다.

다항식의 곡선은 그 차수까지는 $\sin x$ 의 근과 가까운 근을 가지며, 그 이후에는 다항식이 $\sin x$ 에서 벗어나 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

This figure is the graph of the partial sums of (-1)^n times x^(2n+1) divided by (2n+1)! For n=3,5,10. The curves approximate the sine curve close to the origin and then separate as the curves move away from the origin.

The polynomial curves have roots close to those of $\sin x$ up to their degree and then the polynomials diverge from $\sin x.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 9번우리말 번역

다음 연습문제에서 $n\to \infty$ 일 때 $|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1$ 이라고 가정합니다. 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{a}_{n}{\pi }^{n}{x}^{n}}{{e}^{n}}$

다 풀었으면 정답 확인

$|\frac{{a}_{n+1}{\left(\frac{\pi }{e}\right)}^{n+1}{x}^{n+1}}{{a}_{n}{\left(\frac{\pi }{e}\right)}^{n}{x}^{n}}|=\frac{\pi |x|}{e}|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to \frac{\pi |x|}{e}$ so $R=\frac{e}{\pi }$

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