멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 19번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 19번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 계수 ${a}_{n}$ 에 대해 $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ 의 수렴 반지름 R 과 수렴 구간을 구하세요.

$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{\pi }^{k}{x}^{k}}{{k}^{\pi }}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence R and interval of convergence for $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ with the given coefficients ${a}_{n}.$

$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{\pi }^{k}{x}^{k}}{{k}^{\pi }}$

정답·풀이 보기

${a}_{k}=\frac{{\pi }^{k}}{{k}^{\pi }}$ 이므로 $R=\frac{1}{\pi }$ 이다. $x=\pm \frac{1}{\pi }$ 일 때 급수는 절대수렴하는 p-급수이다. 수렴 구간은 $I=\left[-\frac{1}{\pi },\frac{1}{\pi }\right]$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{k}=\frac{{\pi }^{k}}{{k}^{\pi }}$ so $R=\frac{1}{\pi }.$ When $x=\pm \frac{1}{\pi }$ the series is an absolutely convergent p-series. The interval of convergence is $I=\left[-\frac{1}{\pi },\frac{1}{\pi }\right].$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 45번우리말 번역

다음 연습문제를 이용하여, 이어지는 연습문제에 주어진 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{k=1}^{\infty }{\left(\frac{k-1}{2k+3}\right)}^{k}{x}^{k}$

다 풀었으면 정답 확인

${a}_{k}={\left(\frac{k-1}{2k+3}\right)}^{k}$ so ${({a}_{k})}^{1/k}\to \frac{1}{2}<1$ so $R=2$

이 문제로 이어서 풀기

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