멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 45번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 45번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제를 이용하여, 이어지는 연습문제에 주어진 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{k=1}^{\infty }{\left(\frac{k-1}{2k+3}\right)}^{k}{x}^{k}$

영어 원문 보기

Use the next exercise to find the radius of convergence of the given series in the subsequent exercises.

$\sum_{k=1}^{\infty }{\left(\frac{k-1}{2k+3}\right)}^{k}{x}^{k}$

정답·풀이 보기

${a}_{k}={\left(\frac{k-1}{2k+3}\right)}^{k}$ so ${({a}_{k})}^{1/k}\to \frac{1}{2}<1$ so $R=2$

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{k}={\left(\frac{k-1}{2k+3}\right)}^{k}$ so ${({a}_{k})}^{1/k}\to \frac{1}{2}<1$ so $R=2$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 43번우리말 번역

${|{a}_{n}|}^{1/n}\to r>0$ 이면 $|x|<\frac{1}{r}$ 일 때마다 ${|{a}_{n}{x}^{n}|}^{1/n}\to |x|r<1$ 이고, 따라서 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 의 수렴 반지름이 $R=\frac{1}{r}$ 인 이유를 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$n\to \infty$ 일 때 ${|{a}_{n}{x}^{n}|}^{1/n}={|{a}_{n}|}^{1/n}|x|\to |x|r$ 이고, $|x|<\frac{1}{r}$ 일 때 $|x|r<1$ 이다. 따라서 n제곱근 판정법에 의해 $|x|<\frac{1}{r}$ 일 때 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 은 수렴한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류