멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 21번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 계수 ${a}_{n}$ 에 대해 $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ 의 수렴 반지름 R 과 수렴 구간을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{10}^{n}{x}^{n}}{n!}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence R and interval of convergence for $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ with the given coefficients ${a}_{n}.$

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{10}^{n}{x}^{n}}{n!}$

정답·풀이 보기

${a}_{n}=\frac{{10}^{n}}{n!},\frac{{a}_{n+1}x}{{a}_{n}}=\frac{10x}{n+1}\to 0<1$ 이므로 비판정법에 의해 급수는 모든 x 에 대해 수렴하고 $I=(-\infty ,\infty )$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}=\frac{{10}^{n}}{n!},\frac{{a}_{n+1}x}{{a}_{n}}=\frac{10x}{n+1}\to 0<1$ so the series converges for all x by the ratio test and $I=(-\infty ,\infty ).$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 23번우리말 번역

다음 연습문제에서, 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{(k!)}^{2}{x}^{k}}{(2k)!}$

다 풀었으면 정답 확인

${a}_{k}=\frac{{(k!)}^{2}}{(2k)!}$ so $\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k}}=\frac{{(k+1)}^{2}}{(2k+2)(2k+1)}\to \frac{1}{4}$ so $R=4$

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